Informalmente, un gruppo è ciclico se è generato da un singolo elemento. È abeliano se la moltiplicazione commuta. Un gruppo è ciclico se può essere generato da un singolo elemento.
Un gruppo abeliano è ciclico?
Tutti i gruppi ciclici sono abeliani, ma un gruppo abeliano non è necessariamente ciclico. Tutti i sottogruppi di un gruppo abeliano sono normali. In un gruppo abeliano, ogni elemento è in una classe di coniugazione a sé stante e la tabella dei caratteri coinvolge i poteri di un singolo elemento noto come generatore di gruppi.
Come fai a dimostrare che un gruppo abeliano è ciclico?
Prova
- Sia G un gruppo ciclico con un generatore g∈G. Vale a dire, abbiamo G=⟨g⟩ (ogni elemento in G è una potenza di g.)
- Siano aeb elementi arbitrari in G. Allora esiste n, m∈Z tale che a=gn e b=gm.
- Quindi otteniamo ab=ba per a, b∈G arbitrario. Quindi G è un gruppo abeliano.
Come fai a sapere se un gruppo è ciclico?
4 Risposte. Un gruppo finito è ciclico se, e solo se, ha esattamente un sottogruppo di ogni divisore del suo ordine. Quindi, se trovi due sottogruppi dello stesso ordine, il gruppo non è ciclico e questo può aiutare a volte.
Che cosa spiega il gruppo ciclico con un esempio?
Ad esempio, (Z/6Z)×={1, 5} , e poiché 6 è due volte un primo dispari questo è un gruppo ciclico. … Quando (Z/nZ)× è ciclico, i suoi generatori sono chiamati radici primitive modulo n. Per un numero primo p, il gruppo (Z/pZ)× è sempre ciclico, costituito dagli elementi diversi da zero del campo finito di ordine p.
