Se A è una matrice m × n, allora ATA e AAT hanno gli stessi autovalori diversi da zero … Quindi Ax è un autovettore di AAT corrispondente all'autovalore λ. Un argomento analogo può essere utilizzato per mostrare che ogni autovalore diverso da zero di AAT è un autovalore di ATA, completando così la dimostrazione.
Gli autovalori di AAT e ATA sono gli stessi?
Le matrici AAT e ATA hanno gli stessi autovalori diversi da zero. La sezione 6.5 ha mostrato che gli autovettori di queste matrici simmetriche sono ortogonali.
ATA è uguale ad AAT?
Poiché AAT e ATA sono simmetriche reali, possono essere diagonalizzate con matrici ortogonali. Segue dall'affermazione precedente (poiché le molteplicità geometrica e algebrica coincidono) che AAT e ATA hanno gli stessi autovalori.
ATA ha autovalori distinti?
Vero. Ad esempio, se A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , allora l'equazione caratteristica det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 non ha radice ripetuta. Quindi tutti gli autovalori di A sono distinti e A è diagonalizzabile. 3.35 Per ogni matrice reale A, AtA è sempre diagonalizzabile.
Autovettori diversi possono avere lo stesso autovalore?
Due autovettori distinti corrispondenti allo stesso Autovalore sono sempre linearmente dipendenti. Due distinti autovettori corrispondenti allo stesso autovalore sono sempre linearmente dipendenti.
