Dimostrazione per induzione che trasporre una matrice non cambia il suo determinante.
Cosa succede al determinante quando la matrice viene trasposta?
Il determinante della trasposizione di una matrice quadrata è uguale al determinante della matrice, cioè |At|=|A| … Allora il suo determinante è 0. Ma il rango di una matrice è uguale al rango della sua trasposta, quindi At ha rango minore di n e anche il suo determinante è 0.
L'inversione di una matrice cambia il determinante?
Regge che det(AB)=det(A)det(B), così che det(A)det(A−1)=1. In altre parole, una matrice invertibile ha determinante (moltiplicativamente) invertibile. (Se lavori su un campo, questo significa solo che il determinante è diverso da zero.)
Lo scambio di righe cambia il determinante?
Se aggiungiamo una riga (colonna) di A moltiplicata per uno scalare k a un' altra riga (colonna) di A, il determinante non cambierà. Se scambiamo due righe (colonne) in A, il determinante cambierà il suo segno.
