Un sottogruppo normale è un sottogruppo che è invariante se coniugato con qualsiasi elemento del gruppo originale: H è normale se e solo se g H g − 1=H gHg^ {-1}=H gHg−1=H per qualsiasi. g \in G. In modo equivalente, un sottogruppo H di G è normale se e solo se g H=H g gH=Hg gH=Hg per ogni g ∈ G g \in G g∈G. …
Come fai a dimostrare che un sottogruppo è normale?
Il modo migliore per provare a dimostrare che un sottogruppo è normale è dimostrare che soddisfa una delle definizioni standard equivalenti di normalità
- Costruisci un omomorfismo avendolo come kernel.
- Verifica l'invarianza rispetto agli automorfismi interni.
- Determina i suoi cosets sinistro e destro.
- Calcola il suo commutatore con l'intero gruppo.
Come si chiama sottogruppo normale?
Nell'algebra astratta, un sottogruppo normale (noto anche come sottogruppo invariante o sottogruppo autoconiugato) è un sottogruppo che è invariante coniugato dai membri del gruppo di cui è una parte.
Perché i sottogruppi normali sono importanti?
I sottogruppi normali sono importanti perché sono esattamente i nuclei degli omomorfismi. In questo senso, sono utili per guardare versioni semplificate del gruppo, tramite gruppi di quozienti.
Un sottogruppo di un gruppo normale è normale?
Più in generale, qualsiasi sottogruppo al centro di un gruppo è normale. Non è, tuttavia, vero che se ogni sottogruppo di un gruppo è normale, allora il gruppo deve essere abeliano.
