Esempio: l'anello Z degli interi gaussiani è un modulo Z a generazione finita e Z è noetheriano. Per il teorema precedente, Z è un anello noetheriano. Teorema: Gli anelli di frazioni di anelli noetheriani sono noetheriani.
Z X è un anello noetheriano?
L'anello Z[X, 1 /X] è noetheriano poiché è isomorfo a Z[X, Y]/(XY − 1).
Perché Z è noetheriano?
Ma ci sono solo un numero finito di ideali in Z che contengono I1 poiché corrispondono agli ideali dell'anello finito Z/(a) del Lemma 1.21. Quindi la catena non può essere infinitamente lunga, e quindi Z è noetheriano.
Cos'è un dominio noetheriano?
Qualsiasi anello ideale principale, come gli interi, è noetheriano poiché ogni ideale è generato da un singolo elementoCiò include i domini ideali principali e i domini euclidei. Un dominio Dedekind (ad esempio, anelli di interi) è un dominio noetheriano in cui ogni ideale è generato al massimo da due elementi.
Come fai a dimostrare che un anello è noetheriano?
Teorema Un anello R è noetheriano se e solo se ogni insieme non vuoto di ideali di R contiene un elemento massimale Dimostrazione ⇐=Sia I1 ⊆ I2 ⊆··· una catena ascendente di ideali di R. Put S={I1, I2, …}. Se ogni insieme non vuoto di ideali contiene un elemento massimale allora S contiene un elemento massimale, diciamo IN.